【過去問解説】Km値が2mMのときVmaxの98％を得る基質濃度は？ミカエリス・メンテン式で計算
Km＝2 mMの酵素で、最大反応速度Vmaxの98％を得るために必要な基質濃度は、計算上 98 mM です。
したがって、国家試験の選択肢では 100 mM が正答になります。
この問題は、ミカエリス・メンテン式に
v＝0.98Vmax
Km＝2 mM
を代入すれば求められます。
計算方法と、国試で素早く解く方法を順に確認していきましょう。
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第66回 臨床検査技師国家試験
第66回 臨床検査技師国家試験（2020年実施）午後 問題29
ある酵素のKm値が2mMであるとき、最大反応速度の98％を得るための基質終濃度に最も近いのはどれか。
ただし、Michaelis-Mentenの式
v ＝ Vmax × [S] /（Km ＋ [S]）
が適用される。
1．25
2．50
3．100
4．200
5．400
正答
3．100
です。
計算すると必要な基質濃度は 98 mM となるため、最も近い100を選びます。
選択肢には単位が記載されていませんが、KmがmMで与えられているため、求める基質濃度もmMとして考えます。
Kmとは？｜Vmaxの1/2を与える基質濃度
Km（ミカエリス定数）は、反応速度がVmaxの1/2になるときの基質濃度です。
つまり、
[S] ＝ Km のとき
v ＝ Vmax / 2
となります。
今回の問題では、
Km ＝ 2 mM
なので、基質濃度が2 mMのとき、反応速度はVmaxの50％です。
ここで重要なのは、Kmは「反応速度」ではなく「基質濃度」を表す値だという点です。
国家試験では一般に、
Kmが小さいほど基質に対する親和性が高い
と整理します。
ただし、厳密にはKmは単純な解離定数そのものではありません。
KmとVmaxの意味や基質親和性との関係については、KmとVmaxとは？｜ミカエリス定数・基質親和性との関係をわかりやすく解説で詳しく解説しています。
ミカエリス・メンテン式
酵素反応速度は、ミカエリス・メンテン式で表されます。
v ＝ Vmax × [S] /（Km ＋ [S]）
それぞれ、
- v：反応速度
- Vmax：基質濃度を十分に高くしたときに反応速度が近づく限界値
- [S]：基質濃度
- Km：ミカエリス定数
を表します。
今回求めるのはVmaxの98％なので、
v ＝ 0.98Vmax
として計算します。
ミカエリス・メンテン式で計算する
問題文の条件を式に代入します。
0.98Vmax ＝ Vmax × [S] /（2 ＋ [S]）
両辺をVmaxで割ると、
0.98 ＝ [S] /（2 ＋ [S]）
です。
両辺に（2＋[S]）をかけると、
0.98（2 ＋ [S]）＝ [S]
1.96 ＋ 0.98[S] ＝ [S]
したがって、
1.96 ＝ 0.02[S]
となります。
よって、
[S] ＝ 1.96 / 0.02
[S] ＝ 98 mM
です。
選択肢で最も近いのは、
3．100
となります。
国試で素早く解く方法
同じタイプの問題では、毎回最初から式変形をする必要はありません。
反応速度がVmaxの割合 x であるとき、
[S] ＝ Km × x /（1－x）
と表すことができます。
今回の場合、
x ＝ 0.98
なので、
[S] ＝ Km × 0.98 / 0.02
＝ 49Km
です。
Km＝2 mMなので、
[S] ＝ 49 × 2
＝ 98 mM
となります。
つまり、
Vmaxの98％ → 49Km
と分かれば、かなり速く解けます。
選択肢から概算する場合には、「98％なら約50Km」と考えて、
2 mM × 約50 ＝ 約100 mM
としても正答に到達できます。
Vmaxの何％なら基質濃度は何Km？
ミカエリス・メンテン式から、Vmaxに対する反応速度と必要な基質濃度には次の関係があります。
| 反応速度 | 必要な基質濃度 |
|---|---|
| Vmaxの50％ | [S]＝Km |
| Vmaxの90％ | [S]＝9Km |
| Vmaxの95％ | [S]＝19Km |
| Vmaxの98％ | [S]＝49Km |
| Vmaxの99％ | [S]＝99Km |
この表からも分かるように、反応速度をVmaxへ近づけるほど、必要な基質濃度は急速に大きくなります。
基質濃度を増加させれば反応速度は上昇しますが、Vmaxに近づくほど、さらに基質を増やしたときの反応速度の上昇幅は小さくなります。
この計算方法を理解できたら、数字が変わっても自力で解けるか試してみましょう。
下記問題集では、Km・VmaxやMichaelis–Menten式を使う計算問題の練習ができます。
Kmの計算問題でよくあるひっかけ
KmはVmaxの半分ではない
Kmは反応速度ではありません。
正しい関係は、
[S]＝Km のとき、v＝Vmax/2
です。
Kmは基質濃度、Vmaxは反応速度なので、単位も異なります。
Kmが小さいほど、国試では親和性が高いと考える
国家試験では一般に、
Kmが小さい → 基質親和性が高い
Kmが大きい → 基質親和性が低い
と判断します。
ただし、Kmと解離定数Kdが常に同じという意味ではありません。
[S]＝KmでもVmaxにはならない
基質濃度がKmと等しいとき、反応速度はVmaxの50％です。
今回のようにVmaxの98％まで反応速度を上げるには、[S]＝49Kmという非常に高い基質濃度が必要になります。
確認問題
確認問題1
Km＝3 mMの酵素で、Vmaxの90％を得るために必要な基質濃度はいくらでしょうか。
Vmaxの90％では、
[S]＝9Km
なので、
3 × 9 ＝ 27 mM
です。
正答は 27 mM となります。
確認問題2
Km＝4 mMの酵素で、Vmaxの95％を得るために必要な基質濃度はいくらでしょうか。
Vmaxの95％では、
[S]＝19Km
なので、
4 × 19 ＝ 76 mM
です。
正答は 76 mM となります。
次に確認したい関連テーマ
KmとVmaxは、酵素阻害やLineweaver–Burkプロットの問題でも重要です。
競合阻害では見かけのKmが上昇し、Vmaxは変化しません。純粋な非競合阻害ではKmは変化せず、Vmaxが低下します。
詳しい理由は、競合阻害と非競合阻害の違い｜Km・Vmaxの変化をわかりやすく解説で解説しています。
また、KmとVmaxをグラフから読み取る方法については、Lineweaver-Burkプロットの読み方｜Km・Vmax・阻害様式をわかりやすく解説を確認してください。
まとめ
Km＝2 mMの酵素でVmaxの98％を得るために必要な基質濃度は、98 mMです。
したがって、この国家試験問題では最も近い 100 mM が正答になります。
このタイプの問題では、
Vmaxの98％ → [S]＝49Km
という関係を理解しておくと、条件が変わっても素早く計算できます。
別の数値でも解けるか試してみよう
このページでは、1つの国家試験問題を使ってMichaelis–Menten式の計算方法を確認しました。
本番ではKmの値やVmaxに対する割合が変わるため、答えそのものではなく計算方法を使えるようにしておくことが重要です。
下記の問題集では、Km・Vmaxの計算、酵素阻害、Lineweaver–Burkプロットまで実践的な問題演習が可能です。
